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Verdade e Falsidade em Estruturas Interpretativas

Seja tex2html_wrap2238 uma fórmula com, no máximo, n variáveis livres: tex2html_wrap2697 . Seja S uma estrutura interpretativa para tex2html_wrap2238 . Seja tex2html_wrap2699 um n-uplo de elementos de tex2html_wrap2661 , onde tex2html_wrap2661 é o universo de S.

I.
Seja t um termo em tex2html_wrap2238 .
Caso 1.
t é tex2html_wrap2703 ou tex2html_wrap2704 . Então tex2html_wrap2705 é tex2html_wrap2706 .
Caso 2.
t é tex2html_wrap2707 . Então tex2html_wrap2705 é tex2html_wrap2709 .
II.
Seja tex2html_wrap2238 uma fórmula atómica. Neste caso tex2html_wrap2238 tem a forma tex2html_wrap2712 onde tex2html_wrap2713 são termos. Seja tex2html_wrap2714 a interpretação de R em S e tex2html_wrap2715 as interpretações de tex2html_wrap2713 , respectivamente. O n-uplo tex2html_wrap2717 satisfaz tex2html_wrap2238 em S sse tex2html_wrap2719 .

[No caso de tex2html_wrap2238 não conter variáveis livres a interpretação de tex2html_wrap2238 em S independe de tex2html_wrap2717 , portanto todos os n-uplos satisfazem a fórmula, ou nenhum o faz].

III.
Seja tex2html_wrap2238 obtida das fórmulas tex2html_wrap2250 e tex2html_wrap2725 usando conectivos. Temos os seguintes casos:
Caso 1.
tex2html_wrap2238 é tex2html_wrap2727 .

tex2html_wrap2717 satisfaz tex2html_wrap2238 em S sse tex2html_wrap2717 não satisfaz tex2html_wrap2250 em S.

Caso 2.
tex2html_wrap2238 é tex2html_wrap2733 .

tex2html_wrap2717 satisfaz tex2html_wrap2238 em S sse tex2html_wrap2717 satisfaz tex2html_wrap2250 em S ou tex2html_wrap2717 satisfaz tex2html_wrap2725 em S.

Caso 3.
tex2html_wrap2238 é tex2html_wrap2741 .

tex2html_wrap2717 satisfaz tex2html_wrap2238 em S sse tex2html_wrap2717 satisfaz tex2html_wrap2250 em S e tex2html_wrap2717 satisfaz tex2html_wrap2725 em S.

Caso 4.
tex2html_wrap2238 é tex2html_wrap2749 .

tex2html_wrap2717 satisfaz tex2html_wrap2238 em S sse tex2html_wrap2717 não satisfaz tex2html_wrap2238 em S ou tex2html_wrap2717 satisfaz tex2html_wrap2238 em S.

Caso 5.
tex2html_wrap2238 é tex2html_wrap2757 .

tex2html_wrap2717 satisfaz tex2html_wrap2238 em S sse tex2html_wrap2717 satisfaz tex2html_wrap2238 e tex2html_wrap2725 em S ou tex2html_wrap2717 não satisfaz tex2html_wrap2238 nem tex2html_wrap2725 em S.

IV
tex2html_wrap2238 é tex2html_wrap2767 ou tex2html_wrap2768 . Seja tex2html_wrap2769 . [A fórmula tex2html_wrap2250 pode ter tex2html_wrap2428 como variável livre; tex2html_wrap2428 é substituído por tex2html_wrap2773 nas interpretações abaixo].
Caso 1.
tex2html_wrap2238 é tex2html_wrap2767 .

tex2html_wrap2717 satisfaz tex2html_wrap2238 em S sse tex2html_wrap2778 satisfaz tex2html_wrap2250 em S para qualquer tex2html_wrap2780 .

Caso 2.
tex2html_wrap2238 é tex2html_wrap2768 .

tex2html_wrap2717 satisfaz tex2html_wrap2238 em S sse tex2html_wrap2778 satisfaz tex2html_wrap2250 em S para algum tex2html_wrap2780 .

Seja tex2html_wrap2238 uma fórmula com, no máximo, n variáveis livres, S uma estrutura interpretativa para tex2html_wrap2238 , tex2html_wrap2661 o universo de S.
1.
tex2html_wrap2238 é verdadeira em S sse qualquer n-uplo de elementos de tex2html_wrap2661 satisfaz tex2html_wrap2238 .
2.
tex2html_wrap2238 é falsa em S sse nenhum n-uplo de elementos de tex2html_wrap2661 satifaz tex2html_wrap2238 .
[Há fórmulas que não são verdadeiras nem falsas numa estrutura interpretativa, mas nenhuma fórmula pode ser verdadeira e falsa].

Uma fórmula tex2html_wrap2238 é válida (ou universalmente válida) se tex2html_wrap2238 é verdadeira em todas as estruturas interpretativas para tex2html_wrap2238 .


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Jorge Nuno Silva (Dep. Mat. FCUL)
Wed Jun 4 19:06:16 MET DST 1997